非零复数a,b满足a^2+ab+b^2=0求（a/(a+b)）^2004+(b/(a+b))^2004

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 17:43:39
急求，要详细解题答案

a^2+ab+b^2=0
所以(a+b)^2=ab
a^2+ab+b^2=0
所以（a^2+ab+b^2)/ab=0
a/b+b/a=-1
设t=a/b
所以t+1/t=-1
记Xn=t^n+1/t^n
-Xn=(t+1/t)*Xn
=t^(n+1)+1/t^(n+1)+t^(n-1)+1/t^(n-1)
=X(n+1)+X(n-1)
所以X(n+1)+X(n-1)+Xn=0
X1=-1,X2=-1,X3=2,X4=-1,X5=-1,X6=2
发现仅当n被3整除时，Xn=2,其余情况时，Xn=-1
（a/(a+b)）^2004+(b/(a+b))^2004
=a^2004/(a+b)）^2004+b2004/(a+b)）^2004
=a^2004/(ab)^1002+b^2004/(ab)^1002
=(a/b)^1002+(b/a)^1002
=X1002
=2
这道题写起来真累。。。。。

有条件a^2+ab+b^2=0

一方面可以得到
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=0
即a^3=b^3
接着推出
(a^3)^668=(b^3)^668
a^2004=b^2004

另一方面有
a^2+2ab+b^2=ab
即(a+b)^2=ab
(a+b)^2004=(ab)^1002=a^1002*b^1002
=a^1002*(b^3)^334=a^1002*(a^3)^334=a^2004
于是
[a/(a+b)]^2004+[b/(a+b)]^2004
=(a^2004+b^2004)/(a+b)^2004
=2a^2004/a^2004
=2